Re: Brauche Nachhilfe zur Pauligleichung
- From: roland franzius <roland.franzius@xxxxxx>
- Date: Fri, 25 May 2007 09:01:07 +0200
Heinz wrote:
On May 23, 9:35 pm, Heinz <heinrich_neuma...@xxxxxxxxx> wrote:
Die Pauligleichung für ein freies Teilchen, ohne Felder, kann man
schreiben als:
[...]
Kann jemand erklären, was man sich unter "sigma p" vorstellen kann?
Ok, ok, die Pauligleichung kann man nicht so schreiben!
Aber was kann man sich unter "sigma p" vorstellen?
Was ist das genau? Die Formel ist bekannt,
Roland hat sie angegeben. Aber was hat die für eine
Bedeutung?
Es gibt ein Standardobjekt der Differentialgeometrie auf euklidischen Mannigfaltigkeiten, auf denen man zusätzlich die Cliffordalgebra der Basisvektoren zB in einer lokalen Orthogonalbasis definiert:
{e_i, i=1,n} sei eine Orthogonalbasis, G(e_i,e_k) = delta_ik das Skalarprodukt. Dann kann man die Basisvektoren im geometrischen Tangentialraum e_k mit den partiellen Ableitungsoperatoren d_k in orthonormalen Koordinaten x^k identifizieren. Man kann das aber auch lassen und lieber auf den Basisvektoren e_k die Cliffordalgebra Cl(n) mit Cliffordprodukt o definieren
e_i o e_k + e_k o e_i = -2 G(e_i,e_k)
die es gestattet, beliebige Produkte und Summen von Produkten zu definieren. Die Länge der Produkte ist auf n beschränkt, da man mit der obigen Relation immer alles auf Summen von in der Indexreihenfolge geordnete Produkte der Maximallänge n reduzieren kann, in denen jeder Index nur 0 oder 1-mal auftritt.
In diese Cliffordalgebra kann man alle wichtigen Tensoren einbetten
die komplexen Zahlen
die Vektoren v=a_v e_k
die antisymmetreischen Flächenvektoren f=f_ik e_i e_k
...
den Volumen-n-Kubus V=e_1...e_n
Die Summe "+" in der Cliffordalgebra kann man also dazu benutzen, um skalare, vektorielle und tensorielle Objekte in gemeinsamen Gleichungen unterzubringen.
Der Witz besteht darin, dass einige Gleichungssysteme der Physik mit verschiedenen Tensortypen, zB die Maxwellgleichungen, in einer kompakten Cliffordgleichung zusammengefaßt werden können.
Die auf Maxwell, Dirac, Cartan und Atiyah zurückgehende Erkenntnis ist, dass der Diracoperator in euklidischen Geometrien eine fundamentalere Rolle als der Laplaceoperator spielt, der so etwas wie sein Quadrat darstellt:
Definiert man den formalen Diracoperator in cartesischen Koordinaten des euklidischen R^n mit Basis e_k und partieller Ableitung d_k für Felder x-> psi(x)\in Cl(n) mit Werten in der Cliffordalgebra als
D = sum_k e_k d_k
so gilt offenbar
D o D = sum_(k,n) e_k d_k o e_n d_n =
1/2 sum_(k,n) ( e_k o e_n - e_n o e_k) d_n d_k
+1/2 sum_(k,n) ( e_k o e_n + e_n o e_k) d_n d_k
= -sum _(k,n)G(e_k,e_n) d_n d_k
= -Laplace
vorausgesetzt, die Ableitungsoperatoren d_k vertauschen
1) untereinander, 2) mit den Basisvektoren e_k, 3) mit dem Cliffordprodukt o und der Cliffordrelation, gelesen als Vektorfunktion von zwei Variablen über der Algebra.
Der Diracoperator ist also die Wurzel aus -Laplace, einem in Hilberträumen quadratintegrabler Funktionen positiven Operator, und besitzt damit das symmetrische Spektrum von +-lambda, wenn lambda^2 die Eigenwerte von -Laplace sind.
Damit ist der Diracoperator prädestiniert, die Physik von Feldobjekten zu beschreiben, deren bestimmende Zeitentwicklungsgeneratoren eine spektrale Spiegelsymmetrie um den Eigenwert 0 (Supersymmetrie) besitzen wie zB beim Spin, Drehimpuls und beim 4-Impuls von Teilchen/Antiteilchen.
Worauf will man den Diracoperator wirken lassen? Ganz einfach, auf Felder über der Mannigfaltigkeit mit Werten in der Cliffordalgebra. Dazu braucht man einen Untervektorraum der Cliffordalgebra, der unter der Clifford-Multiplikation mit dem Diracoperator in sich abgebildet wird.
An dieser Stelle benutzt man nun den fundamentalen Darstellungssatz der Cliffordalgebra: Die Basisvektoren e_i können immer als ein Satz antiunitärer Matrizen im C^(2^n) dargestellt werden, für n ungerade evtl. auch in C^(2^(n-1)). Das geht im euklidischen R^3 mit den Paulimatrizen:
e_k = i sigma_k
die neben der definierenden Clifford-Relation zusätzlich auch noch die Produktstruktur
e_1 o e_2 o e_3 = i^3 sigma_1 sigma_2 sigma_3 = 1
erfüllen.
Damit kann man als speziellen für die Diracgleichung geeigneten Darstellungsraum im R^3 die beiden Untervektorräume
psi(a,b) = {a (1+sigma_3) + b (sigma_1+i sigma_2)} ={{a,0},{b,0}}
oder
phi(c,d) = { c (sigma_1+i sigma_2) + d(1-sigma_3)}={{0,c},{0,d}}
wählen, den man kurz als 2-er Spinoren mit den Komponenten psi=(a,b), phi=(c,d) bezeichnet und als C^2-Vektoren des Darstellungs-Hilbertraums für die sigma-Matrizen verwendet.
--
Roland Franzius
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