Allgemeinster Ableitungs-/Differentiations-Begriff?

Hallo,

ich habe jetzt gelesen, daß die Differentiation nicht nur für die Reellen Funktionen und die Komplexen Funktionen einer oder mehrerer Veränderlicher definiert ist, sondern auch für Abbildungen zwischen Vektorräumen und für viele andere Typen von Funktionen und Abbildungen.

Welches ist der allgemeinste Differentiations-Begriff, also für welche allgemeinsten mathematischen Gebilde ist der Differentialquotient (Grenzwert des Differenzenquotienten) definiert? Für eine Abbildung (Funktion) zwischen zwei Mengen?
Ich als Nichtmathematiker kenne nur die Differentiation über den Reellen Zahlen und den Komplexen Zahlen bzw. Teilbereichen daraus, deren Elemente dicht liegen. Kann man auch in anderen Mengen differenzieren, z. B. in den Natürlichen Zahlen oder in Mengen, deren Elemente keine Zahlen sind? Welche Anwendungen gibt es dafür?

Danke!



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