Das Kalenderblatt 090814


I propose an algorithm that (in infinite time) will enumerate all of
the real numbers between zero and one.[...]

So essentially what the algorithm does is enumerate the real numbers
between 0 and 1 in order of their decimal length, from one on towards
infinity. A quick analysis of the subroutine enumerateReals will show
that it indeed will enumerate, in finite time, all of the reals
between 0 and 1 that have length of n, where n is any natural number.
Therefore, if we call the function with 1, 2, 3, etc., etc., for an
infinite amount of time we will get all of the real numbers between 0
and 1 of all lengths. [...]

The diagonalization proof presupposes that, at least in theory, there
is a point in time when we can stop and have all of the real numbers
from 0 to 1 listed (namely the point in time after infinite time has
passed). But this presupposition is contrary to the very definition of
infinity and infinite time. It is a misconstrued use of the terms and
is not admissible in a proof.

[Andrew P. Shane: "An Algorithm for the Enumeration of all Real
Numbers Between 0 and 1", Department of Philosophy, Psychology, and
Cognitive Science
Rensselaer Polytechnic Institute, Troy, NY (April 10, 1999)]

http://www.andyland.com/education/rensselaer/01999spring/paradox/cantorswrong.pdf

Viele Mengenlehrer behaupten (vermutlich zu recht), dass Sie einen
Unterschied zwischen potentiell unendlich und aktual unendlich nicht
kennten. Sie müssten, wie auch Albrecht und ich, Shanes Beweis
eigentlich akzeptieren, denn zwar wird in jedem Schritt nur eine
endliche Ziffernfolge nummeriert, da jedoch kein letzter Schritt
existiert, ist die Länge der nummerierten Ziffernfolgen ohne Ende, d.
h. unendlich. (Selbstverständlich könnte man das Ganze auch als einen
Schritt auffassen, wenn man möchte.)

So sollte man _denken_, aber so darf man nicht _glauben_. Glauben muss
der Rechtgläubige vielmehr, dass in unendlich vielen Schritten nur
alle endlichen Folgen nummeriert werden, wohingegen keine einzige
aktual unendliche Ziffernfolge wie z.B. 1/3 drankommt. Die kämen in
unendlicher Zeit noch nicht dran, credemi, folglich erst in
überunendlich vielen Schritten > oo, die aber noch längst nicht
überabzählbar viele sind, jedenfalls nicht für 1/3.

Die natürlichen Zahlen kann man ja auch potentiell unendlich lange
aufzählen, ohne dass omega schon aktual drankäme. Somit wird eine
Unendlichkeit omega erforderlich zwischen der für das gewöhnlich
Fußgängerzonenpublikum APS, AS, WM etc., oo, und der zweiten, die
damit allerdings zur dritten wird. Ist auch nicht recht?

Wie heißt der wichtigste Lehrsatz für Asketen? Sich selber zu
besiegen, das ist der schönste Sieg. Leicht abgewandelt für
Mengenlehrer: Sich selbst zu widerlegen, das ist die schönste
Widerlage.

Gruß, WM
.

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