Re: Farey-Folgen, das kgV{1,2,...,n} und die Sinusfunktion
- From: Peter <peter.luschny@xxxxxxxxxxxxxx>
- Date: Tue, 11 Aug 2009 02:42:50 -0700 (PDT)
Hallo Jutta!
Danke für dein Interesse.
Sehr nett, obwohl ich nicht verstehe, was das
Programm macht (was heißt proc, iquo, break fi?)
Ich persönlich finde, dass die Beherrschung von
Maple oder Mathematica genauso zum Grundinventar
einer Mathematiker Ausbildung gehört wie die
Beherrschung einer Fremdsprache. Meinen englischen
Text hast du ja auch verstanden.
Auf der anderen Seite ist dieses Programm durch und
durch trivial (bis auf die simultane Zuweisung,
welche die Java und C Leute ins Schwitzen bringt)
und zum Verständnis nicht notwendig. Wir können
alles mit Auge, Hand und ein bißchen Kopf nachvollziehen.
Also da sind zwei Funktionen, die eine heißt
HalfFarey, die andere LCM.
Die ersten Farrey-Folgen sind:
F1 = {0/1, 1/1}
F2 = {0/1, 1/2, 1/1}
F3 = {0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1}
F4 = {0/1, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 1/1}
F5 = {0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1}
F6 = {0/1, 1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, 1/1}
HalfFarey(n) erzeugt die Farrey Folge der Ordnung n,
fängt aber erst hinter der 0 an und geht nur bis Mitte,
schneidet also nach der 1/2 ab.
HF2 = {1/2}
HF3 = {1/3, 1/2}
HF4 = {1/4, 1/3, 1/2}
HF5 = {1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2}
HF6 = {1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2}
LCM(n) ist definiert LCM(n) := gkV{1,2,3,...,n}.
Die zweite Minifunktion implementiert jetzt genau
die zweite Formel auf der Seite, also
LCM(n) = (1/2) * ( Produkt 2*sin(k*Pi) )^2
wobei das k im Produkt gerade aus der halben
Farrey-Folge geschöpft wird.
Beispiel:
gkV{1,2,3,4,5} = 60
Hier die Rechenschritte bei der Farrey-Methode:
HalfFarey(5);
[1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2]
map(x->2*sin(Pi*x),%);
[(1/2)*sqrt(2)*sqrt(5 - sqrt(5)), sqrt(2), sqrt(3),
(1/2)*sqrt(2)*sqrt(5 + sqrt(5)), 2]
mul(i,i=%);
sqrt(2)*sqrt(5-sqrt(5))*sqrt(3)*sqrt(5+sqrt(5))
(1/2)*%^2;
3*(5-sqrt(5))*(5+sqrt(5))
evalf(%);
60
Also gkV{1,2,3,4,5} wird hier effektiv als
3*(5-sqrt(5))*(5+sqrt(5)) berechnet. Ist doch witzig,
oder? Und das ist keine alte Kamelle, sondern gerade
einmal ein paar Tage alt, wenn nicht alles täuscht.
Aus deiner Formel
kgV(1,2,...n) = 1/2*(prod_{i el. F(n), 0<i<=1/2} 2*sin(i*pi))^2
kann man ein anderes interessantes Ergebnis ableiten. Wenn n keine Primzahl
oder Prinzahlpotenz ist, ist kgV(1,2,...n) = kgV(1,2,...n-1). Das Produnkt
der Faktoren, die im n-ten Schritt dazukommen, muss also 1 sein. Das heißt
z.B.
n = 6: 2*sin(pi/6) = 1
n = 10: (2*sin(pi/10))*(2*sin(3pi/10)) = 1
n = 12: (2*sin(pi/12))*(2*sin(5pi/12)) = 1
n = 14: (2*sin(pi/14))*(2*sin(3pi/14))*(2*sin(5pi/14)) = 1
n = 15: (2*sin(pi/15))*(2*sin(2pi/15))*(2*sin(4pi/15))*(2*sin(7pi/15)) = 1
...
allgemein:
prod_{z<=n/2, ggT(z,n)=1} (2*sin(z/n*pi) = 1
Wow. Sieht gut aus.
Die ersten drei Gleichungen kann man noch mit der Hand nachrechnen, aber
dann wird es interessanter. Ist dieser Zusammenhang bekannt?
Tja, dann doch mal Maple anschmeissen. (Nicht dass
dies immer helfen würde, wie uns kürzlich von R.R.
mitgeteilt wurde, als er in einem grandiosen
Zwischenspurt versuchte an T.R. vorbei zu ziehen,
dann aber leider seine Ergebnisse per Nudelsieb aus
der zerschossenen Maple-Datei retten musste.)
teilerfremdhalbe := n -> select(k -> igcd(k, n) = 1
and k <= iquo(n, 2), [`$`(1 .. n)])
jutta := n -> mul(2*sin(Pi*k/n),k=teilerfremdhalbe(n));
S := [6, 10, 12, 14, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 28, 30];
seq(jutta(i),i=S);
1,
(1/2 sqrt(5) - 1/2) (1/2 sqrt(5) + 1/2),
3/2 (1 - 1/3 sqrt(3)) (1 + 1/3 sqrt(3)),
8 sin(1/14 Pi) sin(3/14 Pi) sin(5/14 Pi),
8 sin(1/18 Pi) sin(5/18 Pi) sin(7/18 Pi),
16 sin(1/20 Pi) sin(3/20 Pi) sin(7/20 Pi) sin(9/20 Pi),
64 sin(1/21 Pi) sin(2/21 Pi) sin(4/21 Pi) sin(5/21 Pi)
sin(8/21 Pi) sin(10/21 Pi), 32 sin(1/22 Pi) sin(3/22 Pi)
sin(5/22 Pi) sin(7/22 Pi) sin(9/22 Pi),
16 sin(1/24 Pi) sin(5/24 Pi) sin(7/24 Pi) sin(11/24 Pi), 64
sin(1/26 Pi) sin(3/26 Pi) sin(5/26 Pi) sin(7/26 Pi)
sin(9/26 Pi) sin(11/26- Pi), 64 sin(1/28 Pi) sin(3/28 Pi)
sin(5/28 Pi) sin(9/28 Pi) sin(11/28 Pi) sin(13/28 Pi),
16 sin(1/30 Pi) sin(7/30 Pi) sin(11/30 Pi) sin(13/30 Pi)
evalf(%);
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1
Jutta ist eben immer die Nummer 1.
Gruss Peter
.
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- Farey-Folgen, das kgV{1,2,...,n} und die Sinusfunktion
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