Re: Ich will auch, ich will auch

Am 7 Nov 2008 16:17:49 GMT schrieb Klaus Stein:


Spannend wird das Ganze jetzt für die Vereinigung aller M_n. Sei M diese
Vereinigungsmenge:

M = U M_n.
neN

Dann kann man leicht zeigen (beweisen), dass M = IN ist.

Aber es ist auch "offensichtlich". Denn offenbar enthält

{1} u {1,2} u {1,2,3} u ...

ALLE Elemente aus IN, und NUR Elemente aus IN, also ist diese Vereinigungs-
menge = IN. []


Wo ist nun die Irritation?

Keine Ahnung. W e r sollte w o d u r c h irritiert sein? (Ein Crank
durch ein völlig "offensichtliches" Ergebnis der Mengenlehre? Wayne in-
teressierts?)


Nun ja, ich weiß, daß die Vereinigung der Mengen M_1 bis M_n für ein beliebiges
n e IN gleich der Menge M_n ist:

An e IN : U_{i e {1, .., n}} M_i = M_n

Ja.


Dies heißt, daß ich alle kleineren Mengen einfach weglassen kann, da sie zur
Vereinigung nichts beitragen.

In der Tat.


Wenn ich also jetzt diese Vereinigung _aller_ Mengen M_i [betrachte,]

dann ist klar, dass es keine "letzte" ("größte") solche Menge M_i gibt;
daher gibt es hier auch keinerlei "Irritationen".


Naja, und wenn wir jetzt ganz naiv unserer Intuition folgen,

dann ist das alles völlig klar und einsichtig. (Hint: "Unsere Intuition"
ist nicht etwas Fixes, Gegebenes, sondern ist vom "sozio-ökonmischen" Um-
feld, das einen geprägt hat, abhängig. Vgl. dazu das Zitat von Peter Suber
weiter unten.)


Durch die Vereinigung von unendlich vielen Mengen ist also plötzlich etwas
anders als bei der Vereinigung von endlich vielen Mengen, ...

Genau. Simple as that.


Hier explodiert uns nun also der Kopf, ...

UNS? Also _mir_ nicht. Wüsste auch nicht wieso.


...weil unsere Intuition doch recht haben muß ...

1. muss sie das nicht (und hat sie auch des öfteren im Rahmen der
Mathematik nicht)

2. stimmt obiges Ergebnis wunderbar mit _meiner_ Intuition überein.
(Sieh dazu dann weiter unten das Zitat von Peter Suber.)


und wir uns gar nicht vorstellen können, wie das anders sein kann.

Genau, sehe ich auch so. :-)


Wir kriegen es zwar nicht hin, formal zu beweisen, daß hier ein Widerspruch
vorliegt, ...

Was würdig und recht ist: denn es liegt ja auch keiner vor.


Und nur, wenn man durch [entsprechenden] Matheunterricht hinreichend
[geschult ist,] ...

Genau. Wie bei allen "verfeinerten" Dingen geht auch in der Mathematik
nicht ohne _Ausbildung_ ab; erst dadurch wird man in die Lage versetzt,
bestimmte Zusammenhänge "sehen" (und auch verstehen) zu können. Klar.

Sehr Treffendes sagt der Philosoph Peter Suber in seinem Aufsatz "Infinite
Reflections" dazu - hier die Conclusion:

Conclusion

Properly understood, the idea of a completed infinity is no longer a
problem in mathematics or philosophy. It is perfectly intelligible and
coherent. Perhaps it cannot be imagined but it can be conceived; it is
not reserved for infinite omniscience, but knowable by finite
humanity; it may contradict intuition, but it does not contradict
itself. To conceive it adequately we need not enumerate or visualize
infinitely many objects, but merely understand self-nesting. We have
an actual, positive idea of it, or at least with training we can have
one; we are not limited to the idea of finitude and its negation. In
fact, it is at least as plausible to think that we understand finitude
as the negation of infinitude as the other way around. The world of
the infinite is not barred to exploration by the equivalent of sea
monsters and tempests; it is barred by the equivalent of motion
sickness. The world of the infinite is already open for exploration,
but to embark we must unlearn our finitistic intuitions which instill
fear and confusion by making some consistent and demonstrable results
about the infinite literally counter-intuitive. Exploration itself
will create an alternative set of intuitions which make us more
susceptible to the feeling which Kant called the sublime. Longer
acquaintance will confirm Spinoza's conclusion that the secret of joy
is to love something infinite.

Peter Suber, Infinite Reflections
http://www.earlham.edu/~peters/writing/infinity.htm


Herbert
.

Relevant Pages

  • Re: Calculus XOR Probability
    ... least upper bound to the set, the Dedekind definition for an infinite set ... And we DO think you're dim. ... TO claims to have an intuition, but that intuition leads him to require ... contradiction is what I refer to as the result of your education. ...
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    (sci.math)
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    ... Fällen ist es eben meine _Intuition_, ... Peter Suber, Infinite Reflections ... finitude as the negation of infinitude as the other way around. ... the infinite is not barred to exploration by the equivalent of sea monsters ...
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    ... That's some nice infinite integers you're getting there. ... with handwaving and appeals to intuition. ... Talking about uniformly selected naturals only makes sense if you assume that the set of all naturals is finite. ... No limit hocus-pocus can change that, no matter how much you cry about mathematics being wrong. ...
    (sci.math)