Re: Ordinalzahlen oder Ordinalmengen





Martin Vaeth schrieb:
Albrecht <albstorz@xxxxxx> schrieb:

Aufgrund dieser Aeusserung erscheint es mir sinnvoll, den Versuch
einer einfachen Erklaerung der Problematik fuer Nicht-Spezialisten
zu geben:

Vielen Dank fuer die immerhin nur leidlich ueberhebliche Antwort.

Sorry, falls das so herueberkam. Ich hatte nur den Eindruck, dass die
vorherige Diskussion bereits so tiefe Ergebnisse der Modelltheorie
benutzte, dass selbst vielen Berufsmathematikern diese Ergebnisse
nicht unbedingt bekannt sind, wenn sie nicht gerade Spezialisten in
diesem Gebiet sind. Ich bin selbst auch kein Spezialist in Mengenlehre,
und viele der erwaehnten Saetze sind nicht gerade mein taegliches
Handwerkszeug...

Okay. Man kann halt leicht ueberempfindlich werden wenn man sich in
das Minenfeld dsm mit nonkonformistischen Ansichten begibt.



Ich fasse das ganze mal in meinen Worten zusammen:

Es gibt also ein Universum A in dem es eine Menge gibt, ich nenne sie
mal "Menge der natuerlichen Zahlen, NinA" und eine Menge gibt, ich
nenne sie mal "Menge der rellen Zahlen, RinA". Nun stellt man fest,
dass es keine Bijektion von NinA auf RinA gibt.
Weiterhin gibt es ein Universum B in dem es eine **Entsprechung**
fuer NinA und RinA gibt. In B gibt es eine Bijektion von NinA auf
RinA. Weiterhin gibt es aber in B eine Menge, ich nenne sie mal "Menge
der natuerlichen Zahlen, NinB" und eine Menge, ich nenne sie mal
"Menge der reellen Zahlen, RinB". Wir stellen fest, dass es in B keine
Bijektion von NinB auf RinB gibt.
Nun gibt es ein Universum C in dem es eine **Entsprechung** fuer
NinB und RinB gibt. Es gibt weiterhin eine Bijektion von NinB auf
RinB. Nun gibt es aber in C die Mengen NinC und RinC, ...

So weit richtig?

Ja.

Wenn die Mengen NinA, NinB, NinC und die Mengen RinA, RinB und RinC
sich jeweils unterscheiden, so stellt sich die frage, wie diese
Unterscheidung zustande kommt.

Bei NinA, NinB, NinC halte ich es durchaus fuer denkbar, dass die stets die
selben sein muessen (d.h. dass der Begriff "\omega" absolut ist) -
Spezialisten moegen mich ggf. korrigieren.
Die Mengen RinA, RinB, RinC koennen aber deswegen verschieden sein
(und _muessen_ sogar verschieden sein, wie Du richtig bemerkt hast),
weil R als Potenzmenge von N definiert ist (fuer unsere Zwecke genuegt
diese vereinfachende Redeweise), und der Begriff
"Potenzmenge" nicht absolut ist - selbst wenn die zugrundeliegende Menge N
in allen Universen die selbe sein sollte (was ich jetzt der Einfachheit
halbe annehme).

Wir gehen also davon aus, dass R als die Potenzmenge von N definiert
ist. Zwei Universen, z.B. Universum A und Universum B muessen sich
also so unterscheiden, dass, bei Annahme dass NinA und NinB identisch
sind, P(NinA) und P(NinB) verschieden sind. Dies kann freillich nur
der Fall sein, wenn die zwei Potenzmengenbildungen unterschiedlich
sind. Man muss also eher (da wir annehmen, dass NinA = NinB=N) von
PinA(N) und PinB(N) sprechen.

Wir haben damit folgende Charakteristika des Falles:

- Universum A /ungleich/ Universum B
- NinA = NinB = N
- PinA(N) /ungleich/ PinB(N)
- Universum A unterscheidet sich also nur in bestimmten Hinsichten zu
Universum B

Es ist schon einmal eine interessante Frage, wie (und ob) es sein
kann, dass sich zwei Universen so unterscheiden, dass nur die
jeweiligen R, aber nicht die jeweiligen N, zueinander unterschiedliche
Mengen bilden.
Wie unterscheiden sich nun aber PinA und PinB?

Martin Vaeth schrieb:
Albrecht <albstorz@xxxxxx> schrieb:

Aufgrund dieser Aeusserung erscheint es mir sinnvoll, den Versuch
einer einfachen Erklaerung der Problematik fuer Nicht-Spezialisten
zu geben:

Vielen Dank fuer die immerhin nur leidlich ueberhebliche Antwort.

Sorry, falls das so herueberkam. Ich hatte nur den Eindruck, dass die
vorherige Diskussion bereits so tiefe Ergebnisse der Modelltheorie
benutzte, dass selbst vielen Berufsmathematikern diese Ergebnisse
nicht unbedingt bekannt sind, wenn sie nicht gerade Spezialisten in
diesem Gebiet sind. Ich bin selbst auch kein Spezialist in Mengenlehre,
und viele der erwaehnten Saetze sind nicht gerade mein taegliches
Handwerkszeug...

Okay. Man kann halt leicht ueberempfindlich werden wenn man sich in
das Minenfeld dsm mit nonkonformistischen Ansichten begibt.



Ich fasse das ganze mal in meinen Worten zusammen:

Es gibt also ein Universum A in dem es eine Menge gibt, ich nenne sie
mal "Menge der natuerlichen Zahlen, NinA" und eine Menge gibt, ich
nenne sie mal "Menge der rellen Zahlen, RinA". Nun stellt man fest,
dass es keine Bijektion von NinA auf RinA gibt.
Weiterhin gibt es ein Universum B in dem es eine **Entsprechung**
fuer NinA und RinA gibt. In B gibt es eine Bijektion von NinA auf
RinA. Weiterhin gibt es aber in B eine Menge, ich nenne sie mal "Menge
der natuerlichen Zahlen, NinB" und eine Menge, ich nenne sie mal
"Menge der reellen Zahlen, RinB". Wir stellen fest, dass es in B keine
Bijektion von NinB auf RinB gibt.
Nun gibt es ein Universum C in dem es eine **Entsprechung** fuer
NinB und RinB gibt. Es gibt weiterhin eine Bijektion von NinB auf
RinB. Nun gibt es aber in C die Mengen NinC und RinC, ...

So weit richtig?

Ja.

Wenn die Mengen NinA, NinB, NinC und die Mengen RinA, RinB und RinC
sich jeweils unterscheiden, so stellt sich die frage, wie diese
Unterscheidung zustande kommt.

Bei NinA, NinB, NinC halte ich es durchaus fuer denkbar, dass die stets die
selben sein muessen (d.h. dass der Begriff "\omega" absolut ist) -
Spezialisten moegen mich ggf. korrigieren.
Die Mengen RinA, RinB, RinC koennen aber deswegen verschieden sein
(und _muessen_ sogar verschieden sein, wie Du richtig bemerkt hast),
weil R als Potenzmenge von N definiert ist (fuer unsere Zwecke genuegt
diese vereinfachende Redeweise), und der Begriff
"Potenzmenge" nicht absolut ist - selbst wenn die zugrundeliegende Menge N
in allen Universen die selbe sein sollte (was ich jetzt der Einfachheit
halbe annehme).

Wir gehen also davon aus, dass R als die Potenzmenge von N definiert
ist. Zwei Universen, z.B. Universum A und Universum B muessen sich
also so unterscheiden, dass, bei Annahme dass NinA und NinB identisch
sind, P(NinA) und P(NinB) verschieden sind. Dies kann freillich nur
der Fall sein, wenn die zwei Potenzmengenbildungen unterschiedlich
sind. Man muss also eher (da wir annehmen, dass NinA = NinB=N) von
PinA(N) und PinB(N) sprechen.

Wir haben damit folgende Charakteristika des Falles:

- Universum A /ungleich/ Universum B
- NinA = NinB = N
- PinA(N) /ungleich/ PinB(N)
- Universum A unterscheidet sich also nur in bestimmten Hinsichten zu
Universum B

Es ist schon einmal eine interessante Frage, wie (und ob) es sein
kann, dass sich zwei Universen so unterscheiden, dass nur die
jeweiligen R, aber nicht die jeweiligen N, zueinander unterschiedliche
Mengen bilden.
Wie unterscheiden sich nun aber PinA und PinB?

Wir befinden uns ja in Universen, die Modelle von ZF darstellen. Die
Frage ist und bleibt ja, warum ZF abzaehlbare Modelle (Universen) hat,
obwohl ueberabzaehlbare und noch groessere Objekte vorhanden sein
muessten.

Ueblicherweise wird das so betrachtet, dass ein abzaehlbares Modell
alle abzaehlbar viele beschreibbaren Objekte enthaelt. Richtig?

Folglich muss sich Universum A von Universum B darin unterscheiden,
dass im Universum B mehr beschrieben werden kann als in A?

Soweit richtig?

Ich mache hier mal einen Schnitt, um nicht in Gefahr zu laufen mich
allzu weit von den Standardanschauungen zu entfernen.




Da ist ueberhaupt nichts Merkwuerdiges dabei: Im Universum B kann es
Teilmengen von N geben, die es im Universum A nicht gibt.
Das ist nicht verwunderlich, denn es ist ja nicht moeglich, alle Teilmengen
von R explizit hinzuschreiben: Nur von diejenigen Teilmengen, deren
Existenz man in ZF beweisen kann, kann man hundertprozentig sicher sein,
dass es sie gibt. Dazu gehoeren natuerlich alle endlichen Teilmengen von N
sowie alle Teilmengen, die sich "explizit" (in ZF) beschreiben lassen.
Also beispielsweise die Menge der geraden Zahlen, die Menge der Primzahlen,
die Menge der Primzahlwillinge usw. Aber es ist ja klar, dass die

Hier muss ich noch einmal einhaken:

Es ist eine interessante Sache, dass man in ZF von Menge sprechen
kann, von denen man weder die Elemente kennt, noch, wieviele Elemente
diese Menge enthaelt. Und dies, obwohl in der ML eine Menge
ausdreucklich durch ihre Elemente bestimmt ist.
So gibt es die Menge der einhornigen Marsmenschen genaus so, wie es
die Menge der Primzahlzwillinge gibt.
Bei Zweiterem weis man immerhin, dass es _einige_ gibt.



Anzahl dieser Teilmengen, die man so einfach beschreiben kann, natuerlich
nur abzaehlbar ist. Aber R hat immer (in jedem Universum) ueberabzaehlbar
viele Elemente, d.h. es gibt immer Teilmengen von N, die man nicht so
einfach beschreiben kann. Aber welche es gibt, kann man nicht wirklich
sagen (weil man sie ja eben nicht beschreiben kann) - daher kann es eben
durchaus in einem "Universum" mehr (und andere) Teilmengen von N geben,
als in einem anderen.

Diese Begruendung kommt mir jetzt nicht so wirklich befriedigend vor.
Nur weil man etwas nicht wissen kann, kann man ja alles in Betracht
ziehen? naja. Es gibt da denn lustigen Satz. Wenn das Woertchen "wenn"
nicht waer ...



Das Goedelsche Universum L, das ich frueher erwaehnt hatte, ist uebrigens
das "kleinste" aller dieser Universen: Es ist quasi so definiert, dass
es nur aus den Teilmengen besteht, deren Existenz man "explizit" in ZF
nachweisen kann.

Woher will man dies in diesem Kontext wissen. Wenn man sich schon ein
"groesseres" Universum nicht vorstellen kann, warum sollte es dann
nicht kleinere geben, die man sich eben auch nicht vorstellen kann?
Was heist hier "explizit" und was heist "nachweisen"?


Na, fuer den Moment ist das mal genug. Essen ist fertig.

Schoenen Gruss

Albrecht


Deswegen auch meine Aussserung, dass dieses Universum
zu klein sei, und wegen der Kleinheit quasi "automatisch" abzaehlbar
(wenngleich dies nicht ganz richtig ist, wie ich ja korrigiert wurde:
Ich hatte uebersehen, dass es nicht "das" Goedelsche Universum L gibt,
sondern eben immer nur eines, das bereits in einem Universum definiert
ist - und damit relativiert sich meine Behauptung ueber die "Kleinheit"
von L natuerlich).

- Gibt es ein "Basis-Universum" das allen A-, B-, C-, ... Universen
vorausgeht? Da wir hier offensichtlich eine Progression ausmachen
koennen, stellt sich doch die Frage nach dem Anfang dieser
Progression. Wie sieht das "primordiale Universum" aus?

Das ist die Frage, um die es letztlich geht, aber die sich mathematisch
wohl prinzipiell nicht beantworten laesst - wir koennen sozusagen nicht
"erkennen", aus welchem Modell/Universum "unsere" ("physikalischen")
reellen Zahlen stammen (wobei die reellen Zahlen aber ja auch nichts
physikalisches sind).
Wir wissen nur, dass - ganz egal welches Universum es ist -
noch viele weitere theoretisch denkbare Modelle/Universen (innerhalb
dieses Universums) existieren, die prinzipiell wieder die gleiche
Maechtigkeit zur "Erzeugung" weiterer Modelle/Universen besitzen.
Man kann immer nur versuchen, einige Aspekte "unseres" Universums
zu fixieren, also z.B. solche Fragen wie `gilt AC in "unserem" Universum?'
zu entscheiden. Aber die Mathematik alleine kann darauf keine Antwort
geben, weil jede Antwort ein in sich stimmiges und daher mathematisch
moegliches Universum liefert...

Uebersteigen
solche unterschiedlichen Universen unser Vorstellungsvermoegen nicht
in einem solchen Ausmass, dass wir eigentlich gar nicht ernsthaft auf
diese rekurieren koennen?

Aber auf R und die ganzen nuetzlichen Schluesse moechte man ja nur
deswegen nun auch wieder nicht verzichten.
Die Axiome von ZF sind ja gluecklicherweise in allen Universen die
selben, so dass man die Schluesse, die man in der Mathematik ueblicherweise
zieht, in jedem Fall ziehen kann - man muss dazu nicht das ganze Universum
kennen... Bei Aspekten wie der Gueltigkeit von AC kann man aber bereits
verschiedener Meinung sein ueber "unser" Universum.
Das ist keine befriedigende Situation, aber man kann nichts daran aendern -
ausser dass man moeglicherweise durch "physikalische"
Plausibilitaetsueberlegungen entweder AC oder dessen Negation falsifiziert.


Da ist ueberhaupt nichts Merkwuerdiges dabei: Im Universum B kann es
Teilmengen von N geben, die es im Universum A nicht gibt.
Das ist nicht verwunderlich, denn es ist ja nicht moeglich, alle Teilmengen
von R explizit hinzuschreiben: Nur von diejenigen Teilmengen, deren
Existenz man in ZF beweisen kann, kann man hundertprozentig sicher sein,
dass es sie gibt. Dazu gehoeren natuerlich alle endlichen Teilmengen von N
sowie alle Teilmengen, die sich "explizit" (in ZF) beschreiben lassen.
Also beispielsweise die Menge der geraden Zahlen, die Menge der Primzahlen,
die Menge der Primzahlwillinge usw. Aber es ist ja klar, dass die
Anzahl dieser Teilmengen, die man so einfach beschreiben kann, natuerlich
nur abzaehlbar ist. Aber R hat immer (in jedem Universum) ueberabzaehlbar
viele Elemente, d.h. es gibt immer Teilmengen von N, die man nicht so
einfach beschreiben kann. Aber welche es gibt, kann man nicht wirklich
sagen (weil man sie ja eben nicht beschreiben kann) - daher kann es eben
durchaus in einem "Universum" mehr (und andere) Teilmengen von N geben,
als in einem anderen.

Das Goedelsche Universum L, das ich frueher erwaehnt hatte, ist uebrigens
das "kleinste" aller dieser Universen: Es ist quasi so definiert, dass
es nur aus den Teilmengen besteht, deren Existenz man "explizit" in ZF
nachweisen kann. Deswegen auch meine Aussserung, dass dieses Universum
zu klein sei, und wegen der Kleinheit quasi "automatisch" abzaehlbar
(wenngleich dies nicht ganz richtig ist, wie ich ja korrigiert wurde:
Ich hatte uebersehen, dass es nicht "das" Goedelsche Universum L gibt,
sondern eben immer nur eines, das bereits in einem Universum definiert
ist - und damit relativiert sich meine Behauptung ueber die "Kleinheit"
von L natuerlich).

- Gibt es ein "Basis-Universum" das allen A-, B-, C-, ... Universen
vorausgeht? Da wir hier offensichtlich eine Progression ausmachen
koennen, stellt sich doch die Frage nach dem Anfang dieser
Progression. Wie sieht das "primordiale Universum" aus?

Das ist die Frage, um die es letztlich geht, aber die sich mathematisch
wohl prinzipiell nicht beantworten laesst - wir koennen sozusagen nicht
"erkennen", aus welchem Modell/Universum "unsere" ("physikalischen")
reellen Zahlen stammen (wobei die reellen Zahlen aber ja auch nichts
physikalisches sind).
Wir wissen nur, dass - ganz egal welches Universum es ist -
noch viele weitere theoretisch denkbare Modelle/Universen (innerhalb
dieses Universums) existieren, die prinzipiell wieder die gleiche
Maechtigkeit zur "Erzeugung" weiterer Modelle/Universen besitzen.
Man kann immer nur versuchen, einige Aspekte "unseres" Universums
zu fixieren, also z.B. solche Fragen wie `gilt AC in "unserem" Universum?'
zu entscheiden. Aber die Mathematik alleine kann darauf keine Antwort
geben, weil jede Antwort ein in sich stimmiges und daher mathematisch
moegliches Universum liefert...

Uebersteigen
solche unterschiedlichen Universen unser Vorstellungsvermoegen nicht
in einem solchen Ausmass, dass wir eigentlich gar nicht ernsthaft auf
diese rekurieren koennen?

Aber auf R und die ganzen nuetzlichen Schluesse moechte man ja nur
deswegen nun auch wieder nicht verzichten.
Die Axiome von ZF sind ja gluecklicherweise in allen Universen die
selben, so dass man die Schluesse, die man in der Mathematik ueblicherweise
zieht, in jedem Fall ziehen kann - man muss dazu nicht das ganze Universum
kennen... Bei Aspekten wie der Gueltigkeit von AC kann man aber bereits
verschiedener Meinung sein ueber "unser" Universum.
Das ist keine befriedigende Situation, aber man kann nichts daran aendern -
ausser dass man moeglicherweise durch "physikalische"
Plausibilitaetsueberlegungen entweder AC oder dessen Negation falsifiziert.
.



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