Re: Ordinalzahlen oder Ordinalmengen

Martin Vaeth <vaeth@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx> wrote:
Sicherlich kann man den Fokus so weit nach aussen verschieben,
dass z.B. die reellen Zahlen von diesem Fokus aus abzaehlbar werden,
aber das ist letztlich nur ein mathematischer "Trick", der zwar alle
Axiome erhaelt, aber halt doch kuenstlich "unnatuerliche" Mengen
hinzufuegt - zwar nuetzlich fuer Konsistenzbeweise, aber in keiner
Weise ein "natuerlicher" Prozess.
In der "natuerlichen" Anschauungsweise des "echten" Mengenuniversums
(die beiden Begriffe in Anfuehrungszeichen kann ich leider nicht genau
spezifizieren) sind die reellen Zahlen aber m.E. ueberabzaehlbar.
Hingegen ist das konstruktive Universum quasi schon per definitionem
von einem sehr natuerlichen Standpunkt aus abzaehlbar, soll heissen:
Es faellt sehr schwer, sich ein ueberabzaehlbares Modell fuer das
konstruktive Universum vorzustellen - um das ueberabzaehlbar hinzubekommen,
muss man quasi schon kuenstlich Mengen vom Standpunkt des Betrachters
_wegnehmen_ (nun gut, das ist nicht ganz richtig: Man kann das Universum
natuerlich auch wieder kuenstlich "aufblasen", aber auch das ist nur ein
mathematischer "Trick").

Brrr, ich merke selbst, dass der obige Text wahrscheinlich nicht zu
verstehen ist: Es ist sehr schwierig, zu erklaeren, was ich meine,
zumal einfach die mathematische Terminologie dazu fehlt.

Vielleicht so: Der Begriff der Abzählbarkeit ist insofern relativ, als
er z.B. bzgl. zweier verschiedener ZF-Modelle auf die jeweiligen Mengen
der natürlichen Zahlen relativiert wird; von außen gesehen können diese
jeweiligen Mengen zueinander ungleichmächtig sein (das ergibt sich aus
dem Kompaktheitssatz). Aber der Begriff ist auch in gewisser Weise
absolut, wenn man seinen Sinn betrachtet. Teilen wir eine gemeinsame
Sprache (mathematische Umgangssprache oder auch eine gemeinsame
ZF-Sprache), dann ist bei der Definition des Begriffswortes "abzählbar"
kein ZF-Modell involviert. Wir können den Sinn dieser Definition verstehen,
auch wenn ZF nicht konsistent sein sollte, ebenso wie wir den Terminus
"Menge aller Mengen" (als Begriffswort) in ZF durchaus verstehen können;
dieses Prädikat ist leer, dennoch verstehen wir die Definition

Px :<-> Ay y e x

Stellen wir uns also Wesen vor, die, wenn sie von Abzählbarkeit reden,
jeweils "wesentlich" versch. Mengen von natürlichen Zahlen meinen. Dann
ist zwar eine andere Referenz vorhanden, aber das merkt keiner, sofern
man nur Zugang über Merkmale des Begriffs durch Aussagen hat, die
elementar äquivalent sind. Wenn man sagt, dass sich diese Wesen dennoch
verständigen können bzw. verstehen, dann bezieht sich das nicht auf die
Referenz, sondern auf den Sinn, den ihre Aussagen und Begriffe haben.
Ein (kurzes) Gespräch könnte dann so aussehen:

A: Die Menge der natürlichen Zahlen, die ich meine, hat die Eigenschaft
E.

B: Die Menge der natürlichen Zahlen, die ich meine, hat auch die
Eigenschaft E.

A: Der Begriff der Abzählbarkeit hat in meinem Modell denselben Sinn wie
der Begriff der Abzählbarkeit in Deinem Modell.

Eigentlich dividiert sich der Bezug auf Modelle hinsichtlich des Sinns
hier heraus, zumal bei Elementaräquivalenz. Und diesen Sinn nenne ich
absolut.

Zweitens: In unserer mathematischen Umgangssprache sprechen wir in
vielen Kontexten von Abzählbarkeit. Nehmen wir auf dieser uns
gemeinsamen Metaebene der Kommunikation die Menge der natürlichen Zahlen
als gegeben hin. Wir können nun sagen, dass in jedes Modell von ZF die
Menge der metasprachlichen natürlichen Zahlen in das jeweilige omega
einbettbar ist. Diese Menge auf der Metaebene hat eine ausgezeichnete
Stellung. Und hier können wir zeigen, dass der Begriff der Abzählbarkeit
hinsichtlich seiner referenziellen Komponente (also in Bezug auf
mögliche Welten) ein relativer ist.

Somit will ich also sagen, dass eine relativierte Sichtweise nur dann
verständlich wird, wenn sie auch eine absolute Komponente hat. Die
Redeweise, dass die Menge der reellen Zahlen (in Wirklichkeit) abzählbar
sei, ist falsch in allen Modellen für ZF. Die Annahme, dass es sich
dennoch so verhält, involviert einen Meta-Standpunkt, in dem gesagt
werden kann, dass es eine Bijektion von der Menge der metasprachlichen
natürlichen Zahlen auf die jeweilige Menge der reellen Zahlen eines
entsprechenden Modells gibt. Wenn man nun sagt, dass es hinsichtlich des
Meta-Standpunktes keine ZF-Welt gibt, sondern nur eine Peano-Struktur,
dessen Träger man eine e-Beziehung so aufprägen kann, dass sie zu einem
ZF-Modell wird, dann heißt das zwar in der Tat, dass jedes ZF-Modell
abzählbar ist, aber dann haben wir auch referenziell einen
ausgezeichneten Standpunkt für den Begriff der Abzählbarkeit, nämlich
die Menge der metasprachlichen natürlichen Zahlen. Andernfalls, wenn wir
auch der Meta-Welt eine ZF-Welt zugestehen, dann ist die dortige Menge
der reellen Zahlen nicht abzählbar.


--
Thomas Haunhorst
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