Re: Wackelgitter

Wolfgang Thumser schrieb:

Bevor Du Dich dazu entschliesst, solltest Du vielleicht eine Abschaetzung
fuer die resultierende Wackeldistanz geben. Klaus Nagels Distanzen sind
fuer den ebenen Gitterfall unschlagbar (leider bin ich mit der Durchsicht
seiner Arbeit immer noch nicht ganz fertig aufgrund anderer Verpflichtungen).

Ich kann auch gerne nochmal nachsehen, ob in der erwaehnten Arbeit bereits
dazu etwas gesagt ist (ist schon zu lange her).

Ich möchte zum angesprochenen Spezialfall Doppelgitter (45° gedreht) die
Informationen wiederholen, die inzwischen fast unleserlich tief im
Thread versteckt sind.

Klaus Nagel hat geschrieben:
KN: In
KN: http://nagel-klaus.homepage.t-online.de/clubs.pdf
KN:
KN: steht ein Beispiel der Streifenbijektion, in dem Clubs und Streifen
KN: gekennzeichnet sind. Ich war ursprünglich bei den Clubs auch skeptisch,
KN: weil sie von der benutzten Bijektion abhängen (selbst, wenn diese
KN: Bijektion von mir stammt :-). Inzwischen kann ich aber zeigen, daß jede
KN: lange Verbindung zu einem Club gehört und damit durch zyklischen
KN: Partnertausch verkürzt werden kann.

Die an Glaskugeln erinnernden Club-Hüllen in dem schönen Bild
werden garniert von Figuren, die ich als "Blütenstäbchen" bezeichne.
Das sind die eng beieinander liegenden Punktepaare, die einander zuge-
ordnet sind. Die acht Punkte in jeder Club-Hülle sind, wie man gut
erkennen kann, die Ecken von Elementar-Quadraten ("Kacheln").

Es gibt zwei interessante Aussagen über die mittels Streifenbijektion
zu Paaren zusammengefassten Punkte des Doppelgitters. Darin spielen die
Grössen S = sin(Pi/8) und C = cos(Pi/8) eine Rolle:

1. Das längste Blütenstäbchen hat die Länge

L1 = sqrt(S^2+(3*S-C)^2) = 0.4435077689

2. Der kürzeste Abstand zwischen Club-Punkten hat mindestens die Länge

L2 = C - 2 * S = 0.1585126677811,

oder anders gesagt: Zwei Punkte aus G und H mit Abstand kleiner
als 0.15851... müssen als Blütenstäbchen verbunden werden!

Beide Aussagen sind wahr, wobei Klaus Nagel für die erste der beiden
einen Beweis hat, während die zweite auf meiner Vermutung basiert, dass
die beiden Spitzenpunkte im "fiesesten Club" für den kürzesten Club-
internen Abstand verantwortlich sind.

Es ist verlockend, die aus der Streifenbijektion gewonnenen Erkenntnisse
umzusetzen in eine Bauanleitung für optimales Matching im Doppelgitter:
Was enger steht als L2, wird sofort verbunden. Was weiter auseinander
steht als L1, darf nur verbunden werden, wenn das innerhalb eines Clubs
möglich ist.

Sieht ja eigentlich ganz einfach aus, aber ... kann man dabei nicht in
Sackgassen rennen? Ich konnte bereits zeigen, dass es grossräumige Matchings
gibt, die nach dem genannten Prinzip funktionieren, und die dabei auf
identischer Punkteverteilung unterschiedliche Verbindungen erzeugen.
Die entsprechenden Aussagen von mir hole ich auch aus den Thread-Tiefen
herauf:

RR: Dreht man diese Gegend [16731,73851] bei um 90° um den Ursprung, dann
RR: kommt sie mit dem Gebiet um [-73851,16731] punktweise zur Deckung ...
RR: ABER dort hat die Streifenbijektion eine ganz andere Club-Struktur
RR: gebildet! Das muss man einfach mal gesehen haben, und deshalb
RR: lade ich das Bild jetzt gleich hoch. Bitte hier anschauen:
RR: http://tinyurl.com/3bbluv

Und jetzt, bei der Sackgassen-Frage, erinnere ich an einen interessanten
Abzweig in diesem Thread, als Wolfgang Thumser zeigen konnte, dass eine
nach dramatischen Verwicklungen aussehende Frage mittels eines Minimum-
Arguments verblüffend einfach und entspannt gelöst werden konnte.
Es wäre ja der Hammer, wenn man auch hier zeigen könnte, dass man durch
einfaches Befolgen der Anleitung "So bastle ich mir ein Matching im
Doppelgitter" konfliktfrei die ganze Ebene zu-häkeln kann:

Was enger steht als L2, wird sofort verbunden.
Was weiter auseinander steht als L1, darf nur
verbunden werden, wenn das innerhalb eines Clubs
möglich ist.

Ich möchte mit dieser Zusammenschau von Teilen des Threads schliessen
und bedanke mich für die Aufmerksamkeit.

Gruss,
Rainer

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Rainer Rosenthal ' o' o' r.rosenthal@xxxxxx
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