Re: Grundsatzfrage: Mathematik ohne Axiome

On Thu, 3 May 2007, Albrecht wrote:

Der Paradigmenwechsel hat genau da angefangen, wo statt von Punkten
oder Ebenen angeblich genauso gut von Bierseideln und Tischen
gesprochen werden konnte.

Genau das macht keiner. Du wirst keine ernstzunehmende Mathematik finden,
wo das geschieht, selbst wenn man es könnte.

Was aber geschieht, ist, mathematische Begriffsbildungen auf Dinge
anuwenden, für die sie ursprünglich nicht gedacht waren. Die stetigen
Funktionen auf einem Intervall bilden einen Vektorraum, und wenn man <f,g>
= Int f(x)g(x) dx dazunimmt, sogar einen mit Skalarprodukt. Die Erfinder
der Begriffsbildungen "Vektor(raum)" und "Skalarprodukt" hatten ganz
sicher nicht so etwas vor Augen. Dem Mathematiker genügt aber, dass die
Axiome von VR und SP erfüllt sind, und schwupp, darf er alles, was er über
VR und SP weiß, auch auf diesen Raum anwenden (sehr nützlich bei der Suche
nach Näherungen in Teilräumen, die damit ähnlich bearbeitet wrden können
wie Abstände von Punkten zu Ebenen im euklidischen Raum) - unter der
Voraussetzung, dass in die Beweise *nur* die Axiome eingeflossen sind und
nicht etwa spezielle Eigenschaften bestimmter Räume.

Dasselbe ist in der Algebra seit der Zeit Galois' und Abels geschehen, was
mein anderes Beispiel war. In der Automorphismengruppe eines Körpers
rechnet man so ähnlich (nicht gleich!), als ob es Zahlen wären oder
sonstwas, was eine Gruppe bildet - unter der Voraussetzung, dass in die
Beweise *nur* die Axiome eingeflossen sind und nicht etwa spezielle
Eigenschaften bestimmter Gruppen.

Eigentlich fängt da die Mathematik erst an, interessant zu werden, wo man
Strukturen, die für *einen* Zweck definiert sind, plötzlich für einen ganz
anderen verwenden kann, oder, symmetrischer ausgedrückt, wo man gemeinsame
Eigenschaften von mathematischen Objekten findet und ausnutzt, wo auf den
ersten Blick keine zu sein scheinen. So würde ich das hier verwendet Wort
"Strukturmathematik" verstehen.

Was also geschieht, ist, dass man Begriffe auf Strukturen anwendet, wo sie
aufgrund der Axiome passen, für die sie aber zunächst nicht gedacht waren.
Gäbe es ein Axiomensystem für Tische, und man fände heraus, dass manche
Strukturen auf der Menge der Bierseidel die Axiome für Tische erfüllen,
hätte kein Mathematiker die geringsten Bedenken, Bierseidel als ein
Beispiel von Tischen zu betrachten und alle über Tische bewiesenen Sätze
auf Bierseidel anzuwenden. Das liegt aber nicht daran, dass heutige
Mathematiker nicht mal den Unterschied zwischen Tischen und Bierseideln
kennen (wie du mit dem bewusst absurd konstruierten Beispiel wohl sagen
willst), sondern daran, dass sie sich für die Gemeinsamkeiten der
Strukturen interessieren, soweit es welche gibt. Insofern hat
Strukturmathematik durchaus etwas mit der Auswechselbarkeit von solchen
Bezeichnungen zu tun, die dem einzelnen Modell der Theorie und nicht der
Theorie selbst angehören. Abstraktion nennt man so etwas.

Hier werden m.E. zwei Dinge zusammengerührt, die nicht inherent
zusammen gehören. Das Strukturdenken in der Mathematik hat nichts
damit zu tun, dass beliebeige Axiomensysteme untersucht werden können.

Mit der schon diskutierten Präzisierung des Wortes "beliebig" durchaus.

--
Helmut Richter
.

Relevant Pages

  • Re: Grundsatzfrage: Mathematik ohne Axiome
    ... oder Ebenen angeblich genauso gut von Bierseideln und Tischen ... Du wirst keine ernstzunehmende Mathematik finden, ... Axiome von VR und SP erfüllt sind, und schwupp, darf er alles, was er über ... Strukturen auf der Menge der Bierseidel die Axiome für Tische erfüllen, ...
    (de.sci.mathematik)
  • Re: Armes ZFC + PM
    ... gegenüber dem rein intuitiven Unendlichkeitsbegriff, ... Abel hatte zwar die Mathematik einen Saustall genannt, ... es handelt sich um die Axiome ... hier zum Beispiel die rationalen Zahlen ...
    (de.sci.mathematik)
  • Re: Wieso Punkt vor Strich?
    ... Der liebe Gott der Mathematik hat es ... Dozent schreibt Axiome an die Tafel ... Addition und Multiplikation sind zwei _verschiedene_ Dinge, ...
    (de.sci.mathematik)
  • Re: Mengenlehre Diagonalisierungsverfahren
    ... Brich den Knauf auf, und es ist nicht mehr das ... der Mathematik! ... absurd, weil man auch Axiome austauschen kann, und damit ganz andere ... Was hat das mit der Konsistenz von Axiomensystemen zu tun? ...
    (de.sci.mathematik)
  • Re: Ordinalzahlen oder Ordinalmengen
    ... Cantor hatte noch keine Axiome, ... Mengenlehre also solche NUR noch in axiomatischer Form betrieben. ... Aber möchtest du dann auch einen Kamke als Stümper bezeichnen? ... auch im Lichte der modernen Mathematik kein ernsthafter Einwand bekannt. ...
    (de.sci.mathematik)