Re: Grundsatzfrage: Mathematik ohne Axiome


Helmut Richter schrieb:
On Thu, 26 Apr 2007, franz lemmermeyer wrote:

On 26 Apr., 18:30, Helmut Richter <h...@xxxxxx> wrote:

Richtig, dieser Paradigmenwechsel hat stattgefunden.

Das halte ich fuer groben Unfug. Das auf Kuhn zurueckgehende
Modewort Paradigma scheint nach wikipedia folgendes zu beinhalten:

* what is to be observed and scrutinized,
* the kind of questions that are supposed to be asked and probed
for answers in relation to this subject,
* how these questions are to be structured,
* how the results of scientific investigations should be
interpreted.

Ich denke schon, dass genau das stattgefunden hat, besonders "the kind of
questions that are supposed to be asked and probed for answers in relation
to this subject", wenn man das im Kontext einer Struktur- und nicht einer
Naturwissenschaft betrachtet.

Beispielsweise das Kommutativgesetz für die Addition wurde sicher lange
als *entdeckte* Eigenschaft des Rechnens mit Zahlen betrachtet, nunmehr
aber als eine *axiomatisch vorausgesetzte* Eigenschaft mancher Strukturen
(und anderer Strukturen nicht). Es ist nicht länger "wahr", sondern völlig
wahrheitsneutral, nämlich "wahr in den Strukturen, die dieses Axiom
erfüllen".

Nur auf diesem Boden wurde das möglich, was wir heute Algebra nennen,
wobei mir bis heute schleierhaft ist, wie Leute wie Abel und Galois in
diesem Sinne moderne Algebra treiben konnten, obwohl eine konsistente
Begriffswelt dafür erst viel später geschaffen wurde.

Und das ist genau die Frage, die der Platoniker am leichtesten
beantworten kann. Die Zelle lässt sich auch erforschen, ohne vorher zu
wissen, welche Strukturen sie besitzt und wie deren Untereinheiten
heisen.


Deswegen möchte ich
den Anfang dieser Entwicklung auch eher bei Abel und Galois denn bei
Hilbert sehen (oder Noether, van der Waerden und Bourbaki, um deine
Beispiele aufzugreifen).

Der Paradigmenwechsel hat genau da angefangen, wo statt von Punkten
oder Ebenen angeblich genauso gut von Bierseideln und Tischen
gesprochen werden konnte.



die anderen Platoniker sind. Wenn es einen Paradigmenwechsel im
Kuhnschen Sinne gegeben hat, dann war es die Entwicklung des
Strukturdenkens (Noether - van der Waerden - Bourbaki, um nur mal
drei Namen zu nennen; in Wirklichkeit wuerde ich aber lieber mit Gauss
anfangen und mit Grothendieck nicht aufhoeren): diese hat unsere
Sicht
der Dinge naemlich in der Tat grundlegend geaendert, hat uns dazu
gebracht, andere Fragen zu stellen und klassische Ergebnisse neu zu
interpretieren.

Genau das meinte ich. Deswegen setzte ich ja im Gegensatz zu meinem
Vorposter die Wende nicht bei Hilbert, sondern ein bis anderthalb
Jahrhunderte früher an, mit noch früheren Vorläufern. Und wenn ich von
Hilbert als Abschluss sprach, dann nicht in dem Sinne, dass damit die
Chose an ihrem Ende angelangt sei, sondern dass mit Hilbert die *Wende*
vollzogen war. Die vor dir Genannten sorgten für das Fleisch an dem von
Hilbert gebauten Skelett, aber das Skelett (nämlich eine Beweistheorie,
mit der man Theorien aus Axiomen basteln kann, ohne von Anfang an Modelle
zu haben) war seit Hilbert da.


Hier werden m.E. zwei Dinge zusammengerührt, die nicht inherent
zusammen gehören. Das Strukturdenken in der Mathematik hat nichts
damit zu tun, dass beliebeige Axiomensysteme untersucht werden können.
Struktur als das Wesen der Mathematik zu erkennen ist wohl auch nichts
so wesentlich neues. Dinge wie Dreieckszahlen z.B. sind doch auch
nichts anderes als in Zahlen gegossene Struktur.


Gruß
Albrecht Storz



Und noch was: wer meint, Mathematik sei freies Spiel ueber beliebigen
Grundannahmen, der soll doch mal Butter bei die Fische tun und mir
ein Beispiel eines bekannten Mathematikers geben, der seinen Ruhm
mit derartigen Spielchen erarbeitet hat.

Kommt darauf an, was "beliebig" meint. Man bezieht die Ideen, was
interessant sein könnte, schon oft aus schon vorhandenen mathematischen
oder naturwissenschaftlichen Fragestellungen, aber was dann rauskommt,
wird oft nichts mehr damit zu tun haben und ist aus der Sicht des
ursprünglichen Fragestellers nur noch "Spielchen". Mein Bruder
beispielsweise hat über Jordan-Algebren promoviert. Die Idee dazu hatte
Jordan nach eigenen Worten aufgrund "physikalischer Überlegungen"
<http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/sub/digbib/loader?did=D64263>, aber
ich habe doch Zweifel, ob die Betrachtungen der Mathematiker zu diesen
Algebren wesentlich zur Lösung der physikalischen Probleme beigetragen
haben. Na ja, berühmt ist er nicht geworden (wie 99% aller Leute, die in
Mathematik promoviert haben), aber das lag sicher nicht daran, dass die
von ihm untersuchten Strukturen auf "beliebigen" Axiomen beruhten, sondern
eher daran, dass eben nichts herauskam, was man danach brauchen konnte
oder sonst für interessant hielt.

Im Grunde stößt du mit dem Wort "Spielchen" in Blumscheins Horn. Was ist
denn aus den "beliebigen" ZF-Axiomen herausgekommen? Es sind beachtliche
Ergebnisse herausgekommen, aber nur Aussagen über ZF selbst. Die
Kontinuumshypothese wurde als unabhängig von ZF erkannt - eines der
herausragenden mathematischen Ergebnisse des letzten Jahrhunderts und
Cohen ist zu Recht damit berühmt geworden. Trotzdem ist sein Ergebnis in
deinem Sinne "Spielchen", denn man hat nur Erkenntnisse über die Modelle
der "beliebigen" ZF-Axiome gewonnen. Andere Axiome hätten vielleicht
andere Ergebnisse gezeitigt - so what?

Ich bin dagegen der Ansicht, man darf auch dann legitim Mathematik
treiben, wenn weder die Aufgabe anderen Disziplinen (der Mathematik oder
anderer Wissenschaften) entspringt noch die Ergebnisse woanders anwendbar
sind. Nur riskiert man dann, dass sich keiner dafür interessiert.

--
Helmut Richter

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