Re: Wenigstens hierüberkönnen (metaphysical constraints)

On 7/4/2006 9:47 PM, Joachim Pense wrote:
Am Tue, 04 Jul 2006 08:59:01 +0200 schrieb Eckard Blumschein:


Wer das Kontinuum als Punktmenge versteht hat nur dann Recht, wenn er
auch "Punkte" einbezieht die wie pi nicht abzählbar sind

pi kann nicht abzählbar oder nicht-abzählbar sein. Du meinst
offensichtlich etwas anderes.

Mir ist geläufig, dass Cantors Abzählbarkeitskriterium auf dem Begriff
der Eins-zu-Eins-Zuordnung oder Bijektion beruht. Cantor vermutete ohne
Zweifel zu zeigen, dass es auch für die von ihm als selbstverständlich
gegeben angenommen "Elemente" von IR Bijektionen gibt, nur nicht
zwischen rationalen (abzählbaren) und reellen (nicht abzählbaren)
Zahlen. Die triviale Abbildung von pi auf sich selbst bzw. die scheinbar
triviale Abbildung von IR auf sich selbst zelebriert man gern als
Beispiele. Transzendente "Zahlen" haben aber keine exakte numerische
Identität innerhalb eines Systems abzählbarer Zahlen. Die "Zahl" pi
gehört also zum nicht abzählbaren Kontinuum, und sie kann nicht auf
beliebig viele Zählvorgänge zurückgeführt werden. Sie ist eine Fiktion.


sondern aus der
Sicht der Zahlen nur Fiktionen. Das echte Kontinuum ist definitiv keine
Menge diskreter Zahlen. Dedekinds Schnitte sind illusionär.

"illusionär" klingt etwas despektierlich. Ohne mich für die Motivation
der Klassiker (Cantor, Dedekind) hier zu interessieren, möchte ich a
posteriori sagen: Das ist nicht Irrtum, sondern Methode.

Ja, eine irrige Methode, Grundlage einer bis heute herrschenden Utopie.
Eine Methode sollte ihren Nutzen zumindest dadurch beweisen, dass sie in
Anwendungen zu neuen Ergebnissen führt. Dedekind behauptete zwar eine
neue, eine irrationale Zahl erschaffen zu haben. Tatsächlich konnte er
und kann seine Methode nur bereits bekannte irrationale Zahlen
großsprecherisch als erschaffen deklarieren. Deklarationsirrtum ist
verzeihlich. Deklarationsmethode würde hart an Betrug grenzen.


Die reellen Zahlen sind ein äußerst nützliches Modell des Kontinuums,
so wie finite Elemente die Betonplatte modellieren - nur in
entgegengesetzter Richtung. Pointiert ausgedrückt: Der Grenzwert ist
die Näherung für die Folgenglieder.

Einverstanden.

Man kann versuchen (und hat es versucht), die reellen Zahlen "aus sich
heraus" zu definieren, in einer Art und Weise, die ihrem Wesen besser
entspricht. Es bieten sich irgendwelche Fuzzy-Modelle an (nicht das
naive von Zadeh, aber z.B. die Betrachtung von "Mengen mit
symmetrischen, reflexiven, aber nicht transitiven Relationen" aus der
Dissertation von Tim Poston, oder die "Semisets" von Vopenka. Aber
keiner dieser Ansätze hat es irgendwie weit gebracht.

Ehe ich zu Postons Mengen oder Vopenkas Semisets abschließend etwas
sagen kann muss ich mich sachkundig machen. Misstrauisch machen mich die
Begriffe Mengen und Sets. Auf dieser Denkgrundlage kann ich mir keine
klare Abgrenzung von der Dedekind-Cantor-Utopie vorstellen. Den
Intuitionismus speziell von Brouwer sehe ich ja auch daran gescheitert,
dass Brouwer versuchte, eine bessere Mengenlehre zu schaffen.


Diese Theorie setzen sich im Gegensatz zur klassischen reellen
Analysis genau dem Vorwurf aus, der gern von anderer Seite der reellen
Analysis gemacht wird: Eine Spielerei ohne Sinn und Zweck zu sein.

Dedekind hatte sein zwölfjähriges Zögern sich zu einer Publikation zu
entschließen damit begründet dass "erstens die Darstellung nicht ganz
leicht und zweitens die Sache so wenig fruchtbar ist."




Unendlich dichte Punktmengen sind ein Widerspruch in sich, wenn als
Punkt eine Zahl gemeint ist.

Dieser Satz tut, so wie er da steht, für mich erstmal nix bedeuten.

Meine Aussage ist eine Umformulierung der Aussage Spinozas: "... ist es
nicht minder widersinnig zu behaupten dass der Körper aus Flächen, die
Flächen aus Linien und die Linien endlich aus Punkten zusammengesetzt
seien" (WM, S. 37). Anders gesagt: Das Kontinuum kann zwar aus
_unendlich_ vielen fiktiven Punkten zusammengesetzt gedacht werden.
Es ist aber ganz generell nicht in einzelne Zahlen/Punkte auflösbar.
Mir fiel übrigens auf, dass Cantor sonst treu ergebene Mathematiker an
der überall-Dichtheit des gemäß Dedekind lückenhaften Körpers der
rationalen Zahlen zweifelten.


An das aktual Unendliche als Quantum geglaubt haben vermutlich nur
Cantor und noch naivere Mathematiker. Ich sehe es als eine nützliche
Fiktion bzw. als eine Qualität.


"Qualität"?

Ja, als eine qualitative Aussage, nicht als eine quantifizierbare.
Die Qualität "unendlich" heißt schlicht nicht endend. Sie ist gegeben
oder auch nicht, also nicht steigerungsfähig.
Die Qualität "nicht abzählbar" kennzeichnet Sachen mit
Kontinuumscharakter, die man nicht elementweise zählen kann. Mehr oder
weniger abzählbar gibt es so wenig wie mehr oder weniger unendlich, mehr
oder weniger tot oder mehr oder weniger schwanger.


Dein Stil erinnert ein wenig an die aus der Phil-Fak sattsam bekannte
Neigung zur Aneinanderreihung von Wallungswörtern mit beschränkter
Haftung.

Dann hast du mich noch nicht verstanden. Mit beschränkter Haftung gilt
wohl eher für die Integraltafeln. Da muß man schon Glück haben um zu
wissen ob man lieber eine Lösung für x<a oder aber die zugehörige für
x=a angegebene zu benutzen hat. Tipp: Wer unbedingt alles richtig machen
will, der mag etwas verkehrt machen.

Gruß,
Eckard

.

Relevant Pages

  • Re: Richtig so?
    ... Freilich hat er die Definition des Kontinuums nur auf den Punkt ... schon zwei Jahre vor Dedekind erdacht. ... Ich weiss dass Cantor ... sind demnach mit den rationalen nicht erfasst. ...
    (de.sci.mathematik)
  • Re: Richtig so?
    ... Freilich hat er die Definition des Kontinuums nur auf den Punkt ... schon zwei Jahre vor Dedekind erdacht. ... Ich weiss dass Cantor ... sind demnach mit den rationalen nicht erfasst. ...
    (de.sci.mathematik)
  • Re: nicht =?ISO-8859-1?Q?kleiner/gr=F6=DFer_als?=
    ... Dedekind will ein Objekt definieren und sagt vorher, ... unbeweisbare und dem Begriff Kontinuum widersprechende Vermutung. ... dass die reellen Zahlen kein gutes Modell ... die auch für die rationalen gelten sollen. ...
    (de.sci.mathematik)
  • Re: Beweislage
    ... Ich hab mathematisch nix zu bieten, ... Bei Cantor gab es unendliche ganze Zahlen. ... >> Eigenschaft der rationalen Zahlen voneinander unterscheidbar zu sein. ... Der Begriff Kontinuum ist eine uralte Idealisierung, eine Fiktion, etwa ...
    (de.sci.physik)
  • Re: Grundsatzfrage: Mathematik ohne Axiome
    ... Das Kontinuum ist die Menge aller Dedekindschnitte in der Menge der ... Was ist ein Punkt? ... falsch wenn man die rationalen Zahlen nimmt. ... Dass erst Dedekind mit den Schnitten genau die richtige Idee hatte ist sehr ...
    (de.sci.mathematik)