Re: Babuschka-Dreiecke

Philippe 92 schrieb:

Als Rainer sagt, ich habe eine Konstruktion gefunden.
Und ich habe sie auf sci.math postiert.

Der Schlüssel ist eine andere geometrische Abbildung : "Homologie"
Das heisst eine Abbildung, bestimmt aus einen Punkt P und eine Gerade
(g), in welchem :
Alle Geraden aus P sind unverändert
Alle Punkte auf (g) sind unverändert.

Diese ist benutzt in projektiv Geometrie, und verändert ein beliebige
Kegelschnitt zu einen andere Kegelschnitt.
Man kann so P und (g) wählen, dass der Kegelschnitt ist zu einem Kreis
verändert. In diese Konstruktion, es ist benutzt um die Schnittpunkte
eines Kegelschnitts mit eine Gerade zu konstruiren.
Der Kegelschnitt ist Ort von B, der ich im
<mn.38d17d64d039690a.22155@xxxxxxx> hier beschrieben hatte, und die
Gerade ist TU. (ausführlich ist es ziemlich lang)

Ich bin noch mitten im Studium der Lösung. Es macht einen Heiden-
spass, die elementaren Sätze wie z.B. den Satz von Pascal hier
als Machete im Dschungel der Hilfslinien geschwungen und nieder-
sausen zu sehen. (Ein schöner Satz aus dem Dschungel der deutschen
Sprache - als Bonus für Philippe).

Im Ernst: ich bin jetzt bei der Stelle, wo die Tangente im Punkt P
an den Kegelschnitt (K) gelegt wird. Und auch wenn ich weiss, dass
das der Sonderfall B=P ist, so brauche ich doch nach dem guten
Mittagessen noch ein Weilchen, um auch das zu verdauen.

Tja und dann kommen ja erst noch die weiteren gemeisterten
Schwierigkeiten, an deren Ende Philippe erleichtert sagt:

Pffff...

Wer mitgelesen hat und aus irgendwelchen Gründen nicht auf sci.math
zugreifen kann, für den klebe ich Philippes Beweis einfach
hier an dieses Posting. Philippe wird mir das gewiss erlauben?

=========== Philippes Beweis aus sci.math =========================

I think I allready wrote that "the locus of B is a conic section".
However here is the full proof.
Without any drawings yet. I'm making them for my site, but it's rather
hard to find configurations where points and lines are not too near, or
not too far.

(I write AB.CD = intersection point of AB and CD)
Summary :
========
[Given PQR // TUV, construct ABC with PQR < ABC < VTU]
1st step
A moves on VT, then C = AR.VU, B = AP.CQ
(not restricted to build an ABC with ABC < VTU then).
Find the locus of B.

2nd step
Construct the intersection points of this locus with TU.
This gives the searched point B.

3rd step (trivial)
A = BP.VT, C = BQ.VU

Details :
========

1st step : locus of B
- - - - - - - - - - -
Let D = QR.VT and E = PR.VU
The 5 points VEQPD define(*) a conic section (K), let B on (K)
A = BP.VD, C = BQ.VE, R = QD.PE The Pascal theorem says
A, C, R in line. Reversely, for a fixed R this gives a
construction (with straightedge only) of the second intersection
point B of this conic section with any line PA.
Hence locus of B is this conic section.

2nd step : intersection with TU
- - - - - - - - - - - - - - - -
2.a Tangent in P to (K)
Co = PQ.VU, Ao = CoR.VT, PAo is the tangent in P
(previous construction, degenerated as B comes in P).

2.b Construct a geometric homology (**) (K) -> circle (k)
Draw any circle (k) tangent to PAo in P, hence tangent to (K).
q = PQ.(k), v = PV.(k), e = PE.(k)
EQ -> eq, intersect in M
VQ -> vq, intersect in N
Homology is defined by center P and line MN
But we don't really need MN itself for the construction.
We don't need either to construct D -> d
However we could choose any three points in {V,Q,D,E} to make the
same construction, just choose the points so as to get an easy
drawing.

2.c transform line TU -> tu
X = EQ.TU, x = PX.eq
Y = VQ.TU, y = PY.vq
line XY = TU is transformed into line xy

2.d Intersect point of tu = xy and (k)
b1 and b2 or none

2.e reverse transform b -> B
B = Pb.TU (B1 and B2 or none)

Pffff...

Notes
=====
(*) Because the generic conic section equation is
F(M) = ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 and you can set any non nul
coeficient to 1, hence 5 unkowns, hence defined by 5 points Mi,
F(Mi) is a linear equation system in a..f.

(**) geometric homology [through center P and line (m)]
A transformation in which any line going through P is globally
unchanged, and any point on line (m) is unchanged.

This transforms a straight line into a straight line, a conic
section into a conic section, tangent lines at X into tangent
lines at x, intersecting lines at X into intersecting lines
at x, but doesn't hold angles, distances and even distance
ratios (midpoint not transformed into midpoint for instance).

Could be seen in some way as a central projection from some external
point P', of the plane (PI) onto a non parallel plane (pi)
Projecting a conic section of (PI) is defining the cone with
apex P'. Intersecting this cone by (pi) results then into another
conic section.
Very usefull to transform any generic conic section into a circle,
on which Euclidean geometry gives a lot of results and constructions,
that can then be applied back to the original conic section.
(sometimes we transform into a pair of concurent lines too)

=====================================================================

Mit herzlichem Glückwunsch an Philippe und grossem Dankeschön
für die verständliche Darstellung,

Rainer Rosenthal
r.rosenthal@xxxxxx
.

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