Re: ML: kardinal == ordinal

Stefan Ram <ram@xxxxxxxxxxxxxxxxxx> wrote:
> Amicus <nomail@invalid> writes:
> >>Das Paar ?((a,b),c)? ist demnach ein 1-Tupel, 2-Tupel und ein
> >>3-Tupel gleichzeitig.
> >Offenbar. So what?
>
> Dann ist es, solbald man noch Bezeichnungen wie "die erste
> Komponente" einführt, nicht klar, was die erste Komponente von
> ?<a,b,c>? ist. Dies kann, je nach der Interpretation, ?a?,
> ?<a,b>? oder ?<a,b,c>? sein.

Richtig.
Das ist der Grund, warum man die Komponentenabbildungen immer explizit
angeben sollte. Der Umstand, dass wir im Sprachgebrauch von "erster"
oder "zweiter" Komponente reden, ist nur dem Gewohnheit geschuldet,
dass wir die Tupel horizontal hinschreiben.
Das ist ja auch die Vorgehensweise bei der kategoriellen Definition
von Produkt.

Innerhalb der Mengenlehre erspart man sich die iterative Konstruktion
indem man sich sofort mit dem cartesischen Produkt _zweier_ Mengen den
Abbildungsbegriff verschafft.
Zu vorgegebener Menge I und Mengen A_i (i in I) bildet mann dann zuerst
E = Vereinigung_I(A_i x {i}) und die Abbildung p: E ---> I mit p(x,i)=i
und konstruiert dann dann das Produkt der A_i als die Menge der
Schnitte von p: E ---> I d.h. der Abbidlungen s: I ---> E mit pos = id_I.

Die i-te Komponente von s: I ---> E ist dann eben pr_{A_i}(s(i)).

Marc
.

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