Tschuess und danke ...

So, meine Aktivitaet hier geht nun wirklich bald dem Ende entgegen. Ich
moechte Euch aber folgendes nicht vorenthalten, da es natuerlich darauf
aufbaut, was ich hier gelernt habe. Ansonsten eben Vielen Dank fuer die
teils anregenden, teils auch enervierenden Diskussionen.


Wir betrachten nun folgende Matrix mit den Spaltenindices n und den
Zeilenindices m:


n\m 1 2 3 4 5 6 7 . . .

1 3 3 3 3 3 3 3 . . .
2 0 3 3 3 3 3 3 . . .
3 0 0 3 3 3 3 3 . . .
4 0 0 0 3 3 3 3 . . .
5 0 0 0 0 3 3 3 . . .
6 0 0 0 0 0 3 3 . . .
7 0 0 0 0 0 0 3 . . .
.. . . . . . . . .
.. . . . . . . . .
.. . . . . . . . .



Eine Zelle wird als c_nm indiziert.

Der Wert einer Folge von Zellen sei die Dezimalzahl mit der
entsprechenden Ziffernfolge.

Der Wert einer Spalte s_n ergibt sich nach
s_n = c_n1 * 10^-1 + c_n2 *10^-2 + c_n3 * 10^-3 + ... .
Also s_1 = 0.3, s_2 = 0.33, s_3 = 0.333, etc.

Der Wert einer Zeile z_m ist entsprechend
z_m = c_1m * 10^-1 + c_2m *10^-2 + c_3m * 10^-3 + ... .

Der Wert der Partialsumme einer Zeile z_m bis zur n-ten Stelle sei
z_mn, also
z_mn = c_1m * 10^-1 + c_2m *10^-2 + c_3m * 10^-3 + ... + c_nm * 10^-n

Nun steht in den Spalten offensichtlich die gegen den Wert 1/3
konvergierende Folge
s_1 = 0.3 , s_2 = 0.33 , s_3 = 0.333 , ...

Jeder dieser Spalten kann die Partialsumme der ersten Zeile z_1n
zugeordnet werden. Zu s_1 gehört z_11, zu s_2 gehört z_12, zu s_3
gehört z_13.
Offensichtlich gilt: s_1 = z_11, s_2 = z_12, s_3 = z_13.

Allgemein gilt: Jeder Partialsummenwert z_1n der Zeile 1 findet sich
ebenso als Wert in der entsprechenden Spalte s_n.

Damit gilt: Wenn in der Zeile 1 aktual und vollstaendig der Wert 1/3
codiert sein soll, so muss es eine Spalte geben, in der ebenso aktual
und vollstaendig 1/3 codiert ist.
Fuer die cantorsche Liste bzw. die entsprechende Matrix muss aber
gelten, dass in den Zeilen aktual vollstaendig rationale periodische
wie auch irrationale, naemlich allgemein reelle Zahlen codiert sein
muessen.

Nun ist es ein mathematischer Allgemeinplatz, dass eine
nichtperiodische, konvergente Folge von Werten nicht ihren Grenzwert
enthaelt.
Wenn also die cantorsche Liste, und damit ihre entsprechende Matrix,
allgemein reelle Zahlen in den Zeilen enthalten soll, so muessen die
Spalten mit einer um mindestens ein Element maechtigeren Indexmenge
indiziert sein als es natuerliche Zahlen gibt.

Fuer die Zeilen gilt dann: z_1 = 1/3, z_2 = 1/30, z_3 = 1/300, ...

Nun ist es noch interessant nach dem Wert der Diagonalen d zu fragen,
also nach
d = c_11 * 10^-1 + c_22 * 10^-2 + c_33 * 10^-3 + ...

Offensichtlich kann nur gelten d = 1/3, wenn auch gilt z_1 = 1/3 womit
auch, wie oben gezeigt, gilt: Es gibt eine Spalte s_x fuer die gilt s_x
= 1/3.

Daraus laesst sich aber auch ableiten, dass es eine Zeile z_x gibt fuer
die gilt z_x = 0.

Ergo: Cantors Konstruktion ist in sich widerspruechlich. Denn obwohl
die Diagonalzahl nach Konstruktion nur die Ziffer 3 an jeder Position
enthalten kann, gibt es eine Zeile, in der keine einzige 3 enthalten
ist.
(Ausserdem wuerde eine solche Liste ihre Antidiagonale enthalten, wenn
die Werte in den Zeilen gegen sie konvergieren wuerden. Siehe Thread:
Erste vollstaendige ...)


Schone Gruesse natuerlich heute vor allem Richtung Bodensee

Albrecht S. Storz˛

.

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